Родился в Москве. В 1952-1963 гг. учился в Центральной музыкальной школе (класс А. Д. Артоболевской), в 1963-1968 гг. – в Московской консерватории (класс Г. Г. Нейгауза и Л. Н. Наумова), которую окончил с отличием. Педагогическую работу начал сразу по окончании консерватории. В 1968-1975 гг. доцент Консерватории по классу камерного ансамбля. С 1997 г. возглавил факультет исторического и современного исполнительского искусства (ФИСИИ), инициатором создания которого явился в содружестве с Н. Гутман и Н. Кожухарем.

По мнению самого пианиста, «старинная музыка, классика, романтизм, авангард – как разные языки. Чтобы добиться подлинности, музыкант должен стать полиглотом...». Всеми этими «языками» музыкант владеет в совершенстве. С 1998 года - профессор Университета «Моцартеум» в Зальцбурге (класс фортепиано).

По окончании консерватории Алексей Любимов стал основателем и руководителем ансамбля «Музыка – ХХ век» (1969-1974), впервые в стране исполнившего многие произведения П. Булеза, К. Штокхаузена, Дж. Кейджа, Т. Райли и других современных зарубежных и советских композиторов.

Декан факультета исторического и современного исполнительского искуства Московской государственной консерватории им. П.И.Чайковского (1 сентября 2003 г. – 31 декабря 2009 г.).

Народный артист РФ (2004), лауреат Премии Москвы, лауреат Всероссийского конкурса пианистов в Москве (1960, I премия), лауреат международных конкурсов пианистов в Рио-де-Жанейро (1965, I премия) и Монреале (1968, IV премия и специальный приз за исполнение сочинений современных канадских композиторов).

Проводит мастер-классы на исторических клавирах: Бельгия (2002, 2004, 2006), Лондон (RCM, 1998), Грац, Австрия (2001).

Член жюри многих международных конкурсов: «Шуберт и XX век» (Грац, 2000), «Maj Lind Competition» (Хельсинки, 2002), Международного конкурса на историческом фортепиано (Брюгге, 2004), Международного конкурса пианистов им. Рихтера (Москва, 2005), Международного конкурса клавесина им. Баха (Лейпциг, 2006), Международного конкурса пианистов ARD (Мюнхен, 2006).

Дискография Алексея Любимова насчитывает около 50 дисков и включает записи классической музыки от В. А. Моцарта до Ф. Шопена на инструментах прошлых эпох, музыку XX века, в том числе мировые премьеры произведений современных отечественных авторов. С середины 1970-х гг. начинает записывать на фирме «Мелодия» инициированную им же серию аутентичных исполнений старинной музыки «Факсимиле» и одновременно музыку современников. С конца 1980-х гг. сотрудничает с известными западными компаниями, такими как «Erato», «Bis», «Sony», «ECM», «Decca», «Megadisc» и многими другими. Среди записей как сольные, так и ансамблевые и оркестровые исполнения.