Родился 2 февраля 1972 года. В 1990 году закончил Центральную среднюю специальную музыкальную школу при Московской консерватории, в 1995 — Московскую государственную консерваторию им. П. И. Чайковского (с отличием), а затем и ассистентуру-стажировку при консерватори. Его педагогами в ЦМШ были А.Артоболевская, А.Мндоянц, А.Наседкин; в консерватории Т. Николаева; в ассистентуре-стажировке А.Наседкин и М.Воскресенский.
Юрий Богданов является одним из учредителей и вице-президентом музыкального фонда им. А.Д.Артоболевской и Международного благотворительного фонда Ю.Розума, член-корреспондент Российской академии естественных наук. Музыкант награждён серебряным орденом «Служение искусству» Международного благотворительного фонда «Меценаты столетия» и медалью «Честь и польза» движения «Добрые люди мира».
В марте 2006 года пианисту присвоено почётное звание «Заслуженный артист России». Юрий Богданов является художественным руководителем проекта «Где рождается искусство» и основателем общественного движения «Экология культуры». Осенью 2008 года руководство фирмы «Steinway & Sons» выбрало Юрия Богданова артистом «Steinway». В 2012 г. в городе Сочи под руководством Ю.Богданова стартовал Международный музыкально-экологический фестиваль искусств «Прометей», вошедший в программу года музыки Культурной олимпиады. В 2013 году музыкант основал фортепианный фестиваль «Подмосковные вечера искусств» в городах Московской области, а в 2015 году I Всероссийский интернет-конкурс «Музыкальные таланты России». С 2016 года Юрий Богданов - художественный руководитель международного фестиваля «Красногорск музыкальный».