Кузьма Бодров родился в 1980 году в городе Ош (Киргизия). В 2005 году окончил Московскую государственную консерваторию им.П.И.Чайковского (класс композиции А.В.Чайковского). В настоящее время ведет класс композиции в консерватории. Член Совета Союза композиторов России.

Музыка Кузьмы Бодрова звучит в России, Европе, Америке, Австралии и Новой Зеландии. Её исполняют Академический симфонический оркестр «Новая Россия», Государственный академический симфонический оркестр России им.Е.Ф.Светланова, Академический симфонический оркестр Московской филармонии, Большой симфонический оркестр им.П.И.Чайковского, Национальный филармонический оркестр, Камерный оркестр «Солисты Москвы», Камерный хор Московской консерватории, Хор Академии хорового искусства им.В.С.Попова, Государственная академическая капелла им.А.А.Юрлова, Государственный академический русский хор им.А.В.Свешникова. Сотрудничал с известными музыкантами, среди которых Ю.Башмет, Ю.Симонов, А.Сладковский, Б.Тевлин, В.Зива, Н.Борисоглебский, Е.Мечетина, А.Соловьев, Б.Кинтас, С.Стадлер, Б.Березовский, М.Байо, С.Антонов, А.Тростянский, Е.Ревич и В.Холоденко.

Участник Лаборатории режиссера и художника Дмитрия Крымова. Сотрудничал в кинематографе с такими режиссерами, как К.Хабенский и П.Лунгин. Музыкальный руководитель проекта образовательных анимационных фильмов «Сказки старого пианино», получившего премию Правительства РФ за 2013 год. Обладатель премии Министерства Обороны Российской Федерации за музыку к фильму К.Хабенского «Собибор».

С 2011 года Кузьма Бодров является композитором-резидентом Оркестра JMJ в Мадриде. Автор нескольких произведений написанных для мессы Его Святейшества Папы Римского Бенедикта XVI (2011). С 2012 года – приглашенный профессор Высшей школы музыки Катарины Гурски в Мадриде. Преподаёт на Высших курсах режиссёров и сценаристов в Москве.

За свои произведения Кузьма Бодров удостоен премий многих всероссийских и международных конкурсов, в том числе им.С.Прокофьева (I премия за Концерт-сонату для скрипки с оркестром), им.Д.Шостаковича (I премия за Концерт для скрипки с оркестром) и им.Н.Мясковского (I премия за струнный квартет). Обладатель премии Д.Д.Шостаковича от Московской консерватории. В 2011 году был назван «Персоной года» газетой «Музыкальное обозрение» (номинация «Новое поколение – музыкант года»).