Евгений Алешников родился в 1961 году в Белгороде. Музыкальное образование получил в Воронежском государственном институте искусств по двум специальностям – гитара (класс С.И.Корденко) и дирижирование (класс заслуженного артиста РФ Г.М.Оганезова), в творческой аспирантуре Воронежской государственной академии искусств по специальности оркестровое дирижирование.
На протяжении 15 лет Евгений Алешников возглавлял симфонический оркестр Белгородского государственного музыкального училища им. С.А.Дегтярева.
В марте 2009 года – стал главным дирижером Оркестра русских народных инструментов Белгородской государственной филармонии. Основной задачей, поставленной дирижером перед оркестром, стал уход от исключительно фольклорных образцов в репертуаре, расширение творческих горизонтов и исполнительского мастерства коллектива. За время работы было подготовлено множество ярких и запоминающихся программ, репертуар обогатился произведениями современных авторов.
Под управлением Евгения Алешникова коллектив принял участие в ряде фестивалей: в IV Всероссийском фестивале Андрея Петрова (Белгород, 2010),  в IX и Х Всероссийском фестивале современной музыки для русского народного оркестра «Музыка России» (Москва,  2011, 2012), в 54-м Всероссийском музыкальном фестивале им. М.И. Глинки, посвященном 207-й годовщине со дня рождения композитора (Смоленск, 2011).

Оркестр русских народных инструментов ведет активную концертную деятельность. Творческие контакты связывают коллектив и его дирижера с ведущими солистами Белгорода и России, народными оркестрами и дирижерами страны, что вылилось в проведение Парада дирижеров и конференции Ассоциации дирижеров профессиональных оркестров народных инструментов Союза концертных деятелей России в филармонии Белгорода (2012).
Оркестр активно гастролирует – концерты коллектива Белгородской филармонии с большим успехом состоялись в Москве, Могилеве (Беларусь), Липецке, Смоленске, Орле.
В 2013 году дирижер принял на себя художественное руководство Белгородской государственной филармонией, совместив административную и творческую деятельность на посту главного дирижера оркестра.
В 2016 году Евгению Алексеевичу была вручена медаль «За заслуги перед землёй Белгородской» II степени.