Îêîí÷èë Ìîñêîâñêóþ ãîñóäàðñòâåííóþ êîíñåðâàòîðèþ èìåíè Ï.È. ×àéêîâñêîãî (2015, êëàññ À.À. Ëîøàêà). Ñòàæèðîâàëñÿ â Öåíòðå îïåðíîãî ïåíèÿ Ãàëèíû Âèøíåâñêîé (2008–2010), ãäå èñïîëíèë ïàðòèè Îíåãèíà («Åâãåíèé Îíåãèí» Ï.È. ×àéêîâñêîãî) è Ðîáåðòà («Èîëàíòà» Ï.È. ×àéêîâñêîãî). Ïðèíèìàë ó÷àñòèå â ãàñòðîëÿõ Öåíòðà â Ðîññèè, Ãåðìàíèè, Ïîëüøå.  2009–2010 áûë ñòèïåíäèàòîì Ôîíäà Ìñòèñëàâà Ðîñòðîïîâè÷à.

Ëàóðåàò ìåæäóíàðîäíûõ êîíêóðñîâ, ñðåäè êîòîðûõ êîíêóðñ-ôåñòèâàëü “Armel” (III ïðåìèÿ, Âåíãðèÿ, Ñåãåä, 2010), Åâðîïåéñêèé êîíêóðñ îïåðíûõ ïåâöîâ «Äåáþò» (II ïðåìèÿ, Ãåðìàíèÿ, Âàéêåðñõàéì, 2012), êîíêóðñà Neue Stimmen (ôèíàëèñò è îáëàäàòåëü ñïåöèàëüíîãî ïðèçà, Ãåðìàíèÿ, Ãþòåðñëî, 2013), 57-ãî Ìåæäóíàðîäíûé êîíêóðñ «Âåðäèåâñêèå ãîëîñà» (I ïðåìèÿ, Èòàëèÿ, Áóññåòî, 2019).  èþíå 2013 ãîäà Àëåêñåé Áîãäàí÷èêîâ ïðåäñòàâëÿë Ðîññèþ íà ìåæäóíàðîäíîì êîíêóðñå îïåðíûõ ïåâöîâ «Ïåâåö ìèðà» BBC â Êàðäèôôå (BBC Cardiff Singer of the World).

Âûñòóïàë íà ñöåíàõ âåäóùèõ åâðîïåéñêèõ òåàòðîâ: Íàöèîíàëüíîãî òåàòðà ãîðîäà Ñåãåä (Âåíãðèÿ), Îïåðíîãî òåàòðà ãîðîäà Ïëüçåíü (×åõèÿ), Áîëîíñêàÿ îïåðà è Òåàòð Ðîññèíè (Èòàëèÿ), Ãàííîâåðñêàÿ ãîñóäàðñòâåííàÿ îïåðà (Ãåðìàíèÿ). Âûñòóïàë ñ ñîëüíûìè êîíöåðòàìè â ñîïðîâîæäåíèè ñèìôîíè÷åñêîãî îðêåñòðà Õàéëüáðîííà. Ó÷àñòâîâàë â ìåæäóíàðîäíîé îïåðíîé ïðîãðàììå Íåìåöêîé Îïåðû â Áåðëèíå (Deutsche Oper Berlin), â ðàìêàõ êîòîðîé èñïîëíèë ñëåäóþùèå ïàðòèè: Ìàêñèìèëèàí, Êàïèòàí («Êàíäèä» Ë. Áåðíñòàéíà), Ïèíã («Òóðàíäîò» Äæ. Ïó÷÷èíè), Ïåð Ãþíò («Ïåð Ãþíò» Ý. Ãðèãà), Ìîðàëåñ («Êàðìåí» Æ. Áèçå), Ñèëüâàíî («Áàë-ìàñêàðàä» Äæ. Âåðäè), Ôëàìàíäñêèé äåïóòàò («Äîí Êàðëîñ» Äæ. Âåðäè).  2014 ãîäó èñïîëíèë ïàðòèþ Ïàîëî Àëüáèàíè («Ñèìîí Áîêêàíåãðà» Äæ. Âåðäè) â Ãîðîäñêîì òåàòðå Ïüÿ÷åíöû è â Òåàòðå Êîìóíàëå èìåíè Ëó÷àíî Ïàâàðîòòè â Ìîäåíå, ïàðòèþ Áåëüêîðå («Ëþáîâíûé íàïèòîê» Ã. Äîíèöåòòè) â Òåàòðå Ìóç (Àíêîíà), ïàðòèþ Ìîðàëåñà («Êàðìåí» Æ. Áèçå) â Ðèìñêîì îïåðíîì òåàòðå (âñå — Èòàëèÿ).

Ñ 2015 ãîäà — ñîëèñò Ãàìáóðãñêîé ãîñóäàðñòâåííîé îïåðû (Ãåðìàíèÿ), ãäå èñïîëíèë ñëåäóþùèå ïàðòèè: Ðîäðèãî (ôðàíöóçñêàÿ âåðñèÿ îïåðû «Äîí Êàðëîñ» Äæ. Âåðäè), Îíåãèí («Åâãåíèé Îíåãèí»), Åëåöêèé («Ïèêîâàÿ äàìà»), ãðàô Àëüìàâèâà («Ñâàäüáà Ôèãàðî» Â.À. Ìîöàðòà), Áåëüêîðå («Ëþáîâíûé íàïèòîê»), Ýíðèêî («Ëþ÷èÿ äè Ëàììåðìóð» Ã. Äîíèöåòòè), Ôèãàðî («Ñåâèëüñêèé öèðþëüíèê»), Âàëåíòèí («Ôàóñò» Ø. Ãóíî),Øàðïëåñ («Ìàäàì Áàòòåðôëÿé» Äæ. Ïó÷÷èíè), Ôðàíê, Ôðèö («Ìåðòâûé ãîðîä» Ý.Â. Êîðíãîëüäà).

Ñ 2014 ãîäà — ñîëèñò òåàòðà Íîâàÿ Îïåðà.

Àðòèñò ïðèíèìàë ó÷àñòèå è â ðîññèéñêèõ ïîñòàíîâêàõ. Îí èñïîëíèë ïàðòèþ Åëåöêîãî («Ïèêîâàÿ äàìà» Ï.È. ×àéêîâñêîãî) â Áóðÿòñêîì ãîñóäàðñòâåííîì àêàäåìè÷åñêîì òåàòðå îïåðû è áàëåòà (Óëàí-Óäý, 2012), ïàðòèþ Îíåãèíà â Ìàãíèòîãîðñêîì òåàòðå îïåðû è áàëåòà (2014), Àñòðàõàíñêîì ãîñóäàðñòâåííîì òåàòðå îïåðû è áàëåòà (2014–2015), Íèæåãîðîäñêîì ãîñóäàðñòâåííîì àêàäåìè÷åñêîì òåàòðå îïåðû è áàëåòà èì. À.Ñ. Ïóøêèíà (â ðàìêàõ ôåñòèâàëÿ «Áîëäèíñêàÿ îñåíü», 2018). Êðîìå òîãî, â 2019 ãîäó èñïîëíèë ïàðòèþ Ôèãàðî («Ñåâèëüñêèé öèðþëüíèê» Äæ. Ðîññèíè) â Àçåðáàéäæàíñêîì ãîñóäàðñòâåííîì àêàäåìè÷åñêîì òåàòðå îïåðû è áàëåòà èì. Ì.Ô. Àõóíäîâà.

Àëåêñåé Áîãäàí÷èêîâ ñîòðóäíè÷àë ñ òàêèìè âûäàþùèìèñÿ äèðèæåðàìè, êàê Êåíò Íàãàíî, Äàíèýëü Îðåí, Ðåíàòî Ïàëóìáî, Õåñóñ Ëîïåñ Êîáîñ, Ïüåð Äæîðäæî Ìîðàíäè, Ñòåôàíî Ðàíçàíè, Äîíàëüä Ðàííèêëñ, Ýììàíóýëü Âèéîì, ßäåð Áèíüÿìèíè è Èîãàííåñ Ôðè÷.

 2017 ãîäó èñïîëíèë ïàðòèþ Æîðæà Æåðìîíà («Òðàâèàòà» Äæ. Âåðäè) íà Ìåæäóíàðîäíîì ôåñòèâàëå Ïó÷÷èíè â Òîððå-äåëü-Ëàãî (Èòàëèÿ), äèðèæåð ßí Ëàòàì-ʸíèã.

 2019 íà ãàñòðîëÿõ Íîâîé Îïåðû â Òàëëèííå (Ýñòîíèÿ) ïðèíÿë ó÷àñòèå â Ôåñòèâàëå Áèðãèòòà, ãäå èñïîëíèë ïàðòèþ Âàëåíòèíà («Ôàóñò», äèðèæåð ßí Ëàòàì-ʸíèã, ðåæèññåð Åêàòåðèíà Îäåãîâà).