Миша Кац родился в России, в Ростове-на-Дону. Учиться игре на виолончели начал в 1959 году. В 1971 году поступил в Московскую консерваторию, где проходил обучение под руководством Мстислава Ростроповича.
В 1972 году, параллельно с обучением в классе виолончели, начал заниматься дирижированием под руководством своего отца - известного российского дирижера Леонида Каца. С 1973 года Миша Кац продолжил обучение игре на виолончели в Ростовской консерватории под руководством профессоров Якова Слободкина и Александра Вольпова. В 1982 году учился дирижерскому искусству у известного американского композитора и дирижера Леонарда Бернстайна.

В 1985 году, эмигрировав во Францию, организовал фортепианное «Шостакович-трио», которое в 1994 году удостоилось приглашения от звукозаписывающей компании Sony Classical. Кац принимал участие во множестве известных международных музыкальных фестивалей, а также выступал практически во всех престижных залах мира. В 1996 году он был назначен постоянным дирижером Белорусского национального филармонического оркестра в Минске. С 1997 же года он начал получать приглашения для выступлений с различными оркестрами Европы и Америки, в том числе оркестрами из Англии, Бельгии, России, Франции, Молдавии, Чехии, Испании, Сербии, Швейцарии, Румынии, Польши, Дании, Грузии, Швеции, Словакии, Израиля, Монако, Украины, Германии, Мексики, Италии, Македонии, США и Канады. В 1998 году Кац был назначен постоянным дирижером камерного оркестра «Солисты России». В 2003 году он возглавил Международный фестиваль имени Соломона Михоэлса во Франции под эгидой президента Жака Ширака, а в 2005 году - Международный фестиваль мира под эгидой президента Николя Саркози, а с 2012 года – президента Франсуа Олланда.

С 2008 года является главным приглашенным дирижером Словацкого оркестра «Sinfonietta».

Среди престижных наград Миши Каца - Золотая Менора Международной организации Бней-Брит (2005), Французская Золотая медаль за заслуги и преданность (2008), Медаль ЮНЕСКО «Пять континентов» (2013), Золотая медаль Всемирной лиги общественного благосостояния (2013), Медаль имени Соломона Михоэлса (2014).

В 2013 году Миша Кац стал соучредителем проекта «Культура без границ» под эгидой ЮНЕСКО.
Леонид Бернстайн так отозвался о дирижерском искусстве своего ученика: «Столь глубокое понимание музыки может объясняться только божественным даром».