Анна Цыбулёва родилась в небольшом посёлке Нижний Архыз в Карачаево-Черкесской республике. Окончив Московскую консерваторию и аспирантуру в классе профессора Л.В. Рощиной и получив звание «Лучший выпускник года-2014», продолжила совершенствовать свое мастерство в Базельской академии музыки (Швейцария) у профессора Клаудио Мартинеса Менера.


Анна Цыбулева активно концертирует по всему миру с сольными программами и выступает с оркестрами, покоряя такие прославленные залы, как Уигмор-Холл в Лондоне, Тонхалле в Цюрихе, Концертгебау в Амстердаме, Шанхайский центр  восточного искусства и многие другие. Сотрудничает со всемирно известными коллективами, в числе которых: Симфонический оркестр Базеля, оркестр Мариинского театра, Национальный филармонический оркестр России, Токийский филармонический оркестр, Сингапурский симфонический оркестр. 
Благодаря «динамичности, размаху и искренности в общении со слушателем», по словам International Piano Magazine, Анна Цыбулева является одним из лучших музыкантов своего поколения, «которой суждено стать мировой звездой фортепианного искусства». (APE Musicale, Италия).
С 2021 года является Артисткой Yamaha.