Родился в Выборге. В 2001-2008 - солист Академии молодых певцов Мариинского театра.

Алексей Марков выступал с сольными концертами в Финляндии, Великобритании, Германии, Италии, Франции, Австрии, США, Турции. С труппой Мариинского театра гастролировал в Роттердаме (Голландия), выступал на сцене берлинской Дойче-опер (Германия) и на фестивале в Миккели (Финляндия), в Линкольн-центре (Нью-Йорк) и Бабикан-холле (Лондон).

Алексей Марков выступал в качестве приглашенного солиста на сценах Метрополитен-опера (Нью-Йорк), Баварской государственной Оперы, Франкфуртской оперы, Дрезденской Земпер-опер, Оперных театров Цюриха и Баден-Бадена, Зальцбурга и Мадрида, Лиона и Парижа и многих, многих других.

Лауреат ряда международных конкурсов, в числе которых VI Международный конкурс молодых оперных певцов имени Н. А. Римского-Корсакова (Санкт-Петербург, 2004, I премия), IV Международный конкурс молодых оперных певцов Елены Образцовой (Санкт-Петербург, 2005, I премия) и Dresden Bel Canto Competition.