Константин Райкин родился в Ленинграде. Учился в Высшем театральном училище имени Б.В. Щукина при Театре имени Евг. Вахтангова (1967), по окончании которого получил приглашение Галины Волчек в театр «Современник», где проработал 10 лет, сыграв за это время 38 ролей, в том числе 15 главных.

В 1981 году Райкин перешел в Ленинградский театр миниатюр под руководством А.И. Райкина. В 1982 году театр переехал в Москву и стал Государственным театром миниатюр (в 1987 г. переименован в Московский театр «Сатирикон»). В этот период вместе с отцом Райкин сыграл спектакли «Его Величество Театр» (1981) и «Мир дому твоему» (1984), а с пришедшими с ним в театр молодыми артистами - спектакли «Лица» М.Мишина, «Что наша жизнь?» А.Арканова. В 1985 году состоялась премьера его авторской программы «Давай, артист!..», и в том же году ему было присвоено звание заслуженного артиста РСФСР.

В 1988 году, после смерти отца, артист был назначен художественным руководителем театра «Сатирикон» (ныне Российский государственный театр «Сатирикон» имени Аркадия Райкина).

Диапазон творчества Райкина необыкновенно широк: он уверенно существует и в комедии, и в драме, в трагедии, и в гротеске. Константин Аркадьевич много и успешно работает как режиссер. В «Сатириконе» им поставлены 14 спектаклей.

Широкую известность артисту принесли роли в фильмах «Много шума из ничего» (реж. С.Самсонов) и «Свой среди чужих, чужой среди своих» (реж. Н.Михалков). «Труффальдино из Бергамо» (реж. В.Воробьев), «Остров погибших кораблей» (реж. Е. Гинзбург), «Тень, или Может быть, все обойдется» (реж. М.Козаков), «Русский регтайм» и «Неудача Пуаро» (реж.С.Урсуляк).

С 2001 года Константин Аркадьевич руководит курсом в Школе-студии МХАТ.