Говоров Алексей родился в Санкт-Петербурге, в семье музыкантов. Закончил с отличием музыкальную школу имени Е.А.Мравинского, был отмечен премией Ю.Жорно как лучший ученик этого учебного учреждения. С 2005 по 2009 год обучался в Санкт-Петербургском музыкальном колледже имени Н.А.Римского-Корсакова в классе преподавателей К.В.Кучерова (виолончель) и Д.В.Соколова (квартет). Затем продолжил образование в Санкт-Петербургской консерватории им. Римского-Корсакова у А.З.Массарского (виолончель), Н.А.Арзумановой (камерный ансамбль), И.И.Левинзона (квартет). В настоящее время является ассистентом-стажером в классе виолончели доцента, заслуженного артиста России А.З.Массарского.

Является участником МолОт-ансамбля (коллектив молодежного отделения союза композиторов) и постоянным исполнителем в рамках фестивалей Сергея Осколкова, «От авангарда до наших дней», «Звуковые пути», «Петербургская весна», «Время музыки. Fin de Siecle», «МолОт-фестиваль», «Земля детей», «Оперетта в Каунасском замке».

Алексей Говоров – лауреат и дипломант различных конкурсов, в том числе Международного конкурса им. Баха (Лондон), Международного конкурса им. Юдиной (Санкт-Петербург; 2011, 2012). В составе квартета «In Corpore» стал лауреатом I международного конкурса имени Овчарека в 2012 г.

Участвовал в программах мастер-классов в рамках Вагнеровского фестиваля (Байройт, 2008, 2009), в Баварской музыкальной академии, выступал на мастер-классах камерных ансамблей в г. Вайкерсхайм (Германия), организованных Jeunesses Musicales International.

В 2011 Алексей Говоров отобран в основной состав Молодежного оркестра Густава Малера, в 2015 – в многонациональный симфонический оркестр, собранный под эгидой мирного сосуществования народов (проект Young Euro Classics).

В 2014 году в рамках X Международной научно-практической конференции «Музыкальная культура глазами молодых ученых» РГПУ имени А. И. Герцена молодой музыкант выступил с докладом. В этом же году осуществил собственный концерт-проект «Opus 1».