Дмитрий Косолапов родился в Абинске (Краснодарский край). Обучение музыке начал в Абинской музыкальной школе в классе скрипки под руководством Людмилы Ивановны Анисимовой. В 1984 году поступил в Новороссийское музыкальное училище в класс альта Юрия Евгеньевича Бреславского. В 1988 году поступил в Ленинградскую ордена Ленина государственную консерваторию им. Н. А. Римского-Корсакова в класс А.С. Догадина, а затем учился в аспирантуре при ней (класс А.С. Догадина).
В 1986 году Косолапов завоевал III место конкурса Юга России (Астрахань), в 1988 - I место конкурса Юга России (Майкоп), в 2000-м стал дипломантом Международного конкурса альтистов Юрия Башмета (Москва).
В 1989 году начал работать в камерном оркестре «Санкт-Петербург Камерата» под управлением Саулюса Сондецкиса. В 1996 году поступил в Заслуженный коллектив России академический симфонический оркестр Санкт-Петербургской государственной Филармонии им. Д.Д. Шостаковича, где работает по настоящее время. 
Регулярно выступает с сольными и ансамблевыми концертами в лучших залах Санкт-Петербурга, в различных городах России и за рубежом.