Завоевал международное признание не только как исполнитель традиционного репертуара, но и как пропагандист новой музыки. Окончил Российскую Академию Музыки и аспирантуру по двум специальностям: как виолончелист ( в классе А.К. Федорченко) и музыковед ( в классах А.А.Степанова и М. Е.Тараканова). Занимался дирижированием в Московской консерватории в классе Г.Н. Рождественского, Б.Э. Хайкина и В.К. Полянского. В 1970-1980-х гг. был солистом оркестра Большого театра, выступал как солист и ансамблист с созданной им (совместно с дирижером Александром Лазаревым) группой «Солисты оркестра Большого театра». Ансамбль исполнил впервые в России и за рубежом многие сочинения ХХ века, сотрудничая с выдающимися композиторами в России и на Западе. В то же время Ивашкин был одним из ведущих музыкальных критиков России и активно выступал как музыковед.

Как солист и ансамблист, виолончелист концертирует более чем в 40 странах мира на пяти континентах, выступая с лучшими оркестрами Европы, России, Америки, Австралии и Новой Зеландии в крупнейших залах мира. Ивашкин – один из трех виолончелистов (наряду с М. Ростроповичем и Н. Гутман), для которых Шнитке писал свои сочинения. Музыкант – постоянный участник крупнейших музыкальных фестивалей. Он работал с Дж. Кейджем, Дж. Крамом, М. Кагелем, К. Пендерецким, Э. Денисовым, С. Губайдулиной, Г. Канчели, Р. Щедриным. Был первым исполнителем сочинений А.Шнитке, К.Пендерецкого, Н.Корндорфа, А.Раскатова, В.Екимовского, Ф. Караева, Д.Смирнова, К.Кри-Брауна, Дж.Риммера, Дж.Боди и Б.-У. Бизли (Новая Зеландия), П.Скалторпа, Г.Уайтхэд и Л.Ситского (Австралия), Л.Крессвелла, Дж.МакМиллана (Великобритания) и многих других. Впервые исполнил Виолончельные концерты А.Гречанинова (1895), Н.Корндорфа (1986), Ф.Караева (2005).

В 1988-1990 гг. работал в США. В 1990-1999 – в Новой Зеландии и Австралии. В настоящее время Александр Ивашкин является Профессором Лондонского Университета (где он руководит факультетом исполнительства) и директором Центра русской музыки в Лондоне, а также директором международного фестиваля/конкурса виолончелистов имени Адама и ежегодных фестивалей камерной музыки в Лондоне. Александр Ивашкин записал все виолончельные сочинения Рахманинова, Прокофьева, Шостаковича, Шнитке, Рославца, Черепнина, Канчели, для крупнейшей английской фирмы Chandos Records. В 2003-2006 годах Ивашкин гастролировал в Европе, России, Америке, Канаде, Австралии, Китае, Японии, Новой Зеландии, – выступая в крупнейших концертных залах и играя концерты Гайдна, Чайковского, Шумана, Дворжака, Р.Штрауса, Шостаковича, Шнитке, Корндорфа, Щедрина, Канчели, А.Рид-Томас. В 2004 году Ивашкин впервые исполнил Виолончельный концерт Брамса (оригинальную версию того, что впоследствии стало Двойным концертом) в родном городе композитора – Гамбурге. В 2005 году Ивашкиным была сыграна российская премьера в Москве, в Большом зале консерватории. В 2007 году он сыграл этот концерт в Санкт-Петербурге, с заслуженным коллективом республики – Оркестром филармонии.

В 2007-2008 гг. Ивашкин играл «Солнечное песнопение» (Виолончельный концерт № 3) С.Губайдулиной в Лондонском Barbican Centre с оркестром и хором BBC, концерт Шумана – в Голландии, оба концерта Шостаковича – в США, Тройной концерт Бетховена – с Берлинским симфоническим оркестром – в Амстердамском Концертгебау, Симфонию-Концерт Прокофьева – в Новой Зеландии, выступал в Канаде и Азербайджане как виолончелист и дирижер. В сезоне 2008-09 гг. Ивашкин исполнил новую версию виолончельного концерта Пендерецкого "Largo" (2005) под управлением композитора в Кейптауне и Москве.

Ивашкин также выступает как дирижер с оркестрами Европы, России, Австралии и Новой Зеландии. Он является автором 18 книг и более 200 статей, опубликованных в России, Англии, Америке, Германии, Японии, Канаде, Австралии, Новой Зеландии и Италии.