Родился в Ленинграде. В 2001 году с отличием окончил Хоровое училище им. М.И. Глинки. Профессионально занимался игрой на кларнете и органе, а также композицией. Окончил дирижерско-хоровой факультет (класс профессора Е.П Кудрявцевой) и вокальный факультет (класс Д.В. Карпова) Санкт-Петербургской государственной консерватории им. Н.А. Римского-Корсакова.
В 2009 году дебютировал на сцене Мариинского театра в спектакле «Война и мир» в нескольких партиях. С 2011 года – солист Академии молодых певцов Мариинского театра. В мае 2013 года исполнил заглавную партию в премьерном спектакле «Риенци» Вагнера на сцене Саратовского театра оперы и балета в постановке Алексея Степанюка.
В 2008 году в рамках VIII Пасхального фестиваля на сцене Большого зала Московской консерватории исполнил партию Японского посла в опере «Соловей», прозвучавшей под управлением Валерия Гергиева. Также в качестве солиста дебютировал на сцене Концертного зала Мариинского театра в «Перезвонах» Гаврилина.
В 2010 году исполнил партию Нерона в мировой премьере оперы Н. Каретникова «Мистерия апостола Павла» (режиссер А. Степанюк) на сцене Концертного зала Мариинского театра. В этом же году дебютировал на сцене Кеннеди-центра в опере Прокофьева «Война и мир» под управлением Валерия Гергиева.
В 2011 году на сцене Мариинского театра исполнил партию Овлура в опере «Князь Игорь». Также в 2011 году принял участие в премьерных постановках оперы Родиона Щедрина «Мертвые души» (кучер Селифан) в постановке В. Бархатова и «Ариадны на Наксосе» Рихарда Штрауса (Бригелла) в постановке М. Штурмингера.
В 2013 году исполнил партию тенора в сценической версии «Кармины Бураны» Карла Орфа в рамках гастролей неаполитанского театра Сан-Карло на новой сцене Мариинского театра. В том же году Артем Мелихов исполнил заглавную партию на премьере постановки «Риенци» Вагнера в Саратовском театре оперы и балета.

В текущем сезоне участвовал с солистами Академии в постановке «Чародейки» Чайковского на сцене театра Сан-Карло в Неаполе, где исполнил партию Балакина (спектакль Дэвида Паунтни).