Клара-Джуми Кан родилась в семье музыкантов и начала заниматься скрипкой в возрасте трех лет. Всего год спустя она поступила в Высшую школу музыки в Мангейме (класс Валерия Градова). Продолжила учебу в Любекской Высшей школе музыки у Захара Брона. Дебютное выступление с Гамбургским симфоническим оркестром состоялось в пять лет, через го ее лицо украсило обложку немецкого издания Die Zeit. Еще через год она была принята на полную стипендию в Джульярдскую школу, где ее преподавателем стала Дороти Делэй. Уже тогда Клара успела выступить с такими музыкальными коллективами, как Лейпцигский Гевандхаус, Гамбургский симфонический оркестр, оркестр Кильской филармонии, Филармонический оркестр Ниццы, Симфонический оркестр города Атланты, Сеульский филармонический оркестр, Симфонический оркестр Корейского радио и Корейский камерный оркестр. В возрасте девяти лет она записала Тройной концерт Бетховена и отдельную сольную программу для лейбла звукозаписи на компакт-дисках TELDEC.

Клара продолжила образование в Корейском национальном университете искусств у Нам Юн Ким. Последний этап образования Клара завершила в Мюнхенской высшей школе музыки, пройдя в 2011–2013 годах курс у Кристофа Поппена. В этот период она завоевывает высшие награды на главных международных скрипичных конкурсах в Сеуле, в Гамбурге и в Сендае и в Индианаполисе.

Клара зарекомендовала себя как солистка, которую приглашают для совместных выступлений такие оркестры, как Dresdner Kapellsolisten, Симфонический оркестр штата Нью-Джерси, Симфонический оркестр Индианаполиса, Симфонический оркестр Санта-Фе, Токийский столичный симфонический оркестр, Новый Японский симфонический оркестр, филармонические оркестры Осаки, Нагои, Сендая, Симфонический оркестр Хиросимы, оркестр Kanazawa, Тайваньский национальный симфонический оркестр, Оркестр Московской филармонии, а также все ведущие корейские коллективы: Сеульский филармонический оркестр, Симфонический оркестр Корейского радио, Пучхонский филармонический оркестр и Сувонский филармонический оркестр.

Первый сольный альбом Клара выпустила в 2011 году совместно с фирмой DECCA. Он назывался Modern Solo («Современное соло»).

В 2012-м крупнейшая корейская газета DongA Times причислила Клару к «100 наиболее многообещающих и авторитетных людей, определяющих будущее Кореи». В этом же году за выдающуюся концертную деятельность в мировом масштабе она была удостоена музыкальной премии Культурного фонда Daewon. В 2014-м ей была присуждена премия «Музыкант года», учрежденная Фондом Kumho.

Клара постоянно живет в Мюнхене и с 2015 года играет на скрипке Антонио Страдивари ex-Strauss (1708), любезно предоставленной ей во временное пользование Культурным фондом Samsung (Корея).