Мартинас Левицкис воспитывался на традиционной музыке Литвы. В возрасте восьми лет он начал профессиональное образование в Школе искусств им. С. Сондецкиса в Шяуляе. Высшее образование получил в Королевской академии музыки и испанском Musikene. Принимал участие в мастер-классах Фредерика Дешама, Клаудио Якомуччи, Фридриха Липса, Массимилиано Питокко и Матти Рантанена.
Левицкис – обладатель свыше 30 наград международных конкурсов.
В 2013 году под лейблом Decca Classics вышел его первый альбом, быстро завоевав феноменальную популярность.

Среди залов, в которых выступал аккордеонист – такие как Королевский Альберт-холл, Королевский фестивал-холл, Вигмор-холл, Аудиторио Насиональ в Мехико и др. Также он принимал участие в фестивалях в Бате, Дрездене, Эдинбурге, Мекленбурге, Шлезвиг-Гольштейне и др.
Выступал с оркестром ВВС, Городским оркестром Бирмингема и рядом камерных коллективов.
Мартинас – художественный руководитель Palendriai международного композиторского фестиваля.

Мартинас Левицкис играет на аккордеоне Pigini Nova, предоставленном ему The Lady R Foundation.