Анатолий Щура окончил в 1990 году композиторский факультет Белорусской государственной консерватории, класс профессора Евгения Глебова. По рекомендации Альфреда Шнитке в декабре 1990 года был принят в состав Союза композиторов СССР. В 1991-92 годах Анатолий Щура - директор камерного оркестра Смоленской областной филармонии.

В 1994 году на основе камерного ансамбля педагогов и выпускников Нарвской музыкальной школы создал симфонический оркестр, которым руководит и в настоящее время. В феврале 1998 года решением Нарвского городского собрания оркестр получил статус городского симфонического оркестра.

В феврале 1998 года за создание коллектива Правительством Эстонии Анатолию Щура было предоставлено эстонское гражданство.

По инициативе Анатолия Щура и при участии оркестра осуществлены такие культурные проекты, как Международный музыкальный фестиваль имени Е. Мравинского, Республиканский юношеский конкурс инструментального концерта, общедоступные концерты на открытом воздухе, благотворительные концерты. Анатолий Щура является автором новаторской сценической версии повести А. Пушкина «Метель» с музыкальными иллюстрациями к ней Г. Свиридова. Музыкальный спектакль при участии актера Русского драматического театра в Эстонии Эдуарда Томана транслировался по республиканскому радио и телевидению, дважды осуществлена запись на CD, а также запись на телеканал «Культура» Российского государственного телевидения.

В 1996-2001 годах Анатолий Щура изучал симфоническое дирижирование в Эстонской музыкальной академии в классе профессора Романа Матсова. Участвовал в мастеркурсах Йорма Панула. Гастролировал в России, Финляндии, Польше, Германии. В марте 2005 года с симфоническим оркестром филармонии г. Зелена Гура (Польша) принимал участие в Международном музыкальном фестивале «Дни музыки над Одером».

В сотрудничестве с Ансамблем солистов Академического симфонического оркестра филармонии выступал в программах Большого зала Санкт-Петербургской филармонии с участием мировых звезд джаза.

Лауреат премии фонда Kultuurkapital за популяризацию классической музыки и премии «Жемчужина культуры». В феврале 2008 года президентом Эстонской республики А. Щура был награжден орденом Белой звезды V степени.