Родился 20 ноября 1973 года в Баку. В 1980 году поступил в Среднюю специальную музыкальную школу имени Бюльбюля. В 1991 году окончил школу и поступил в Бакинскую государственную музыкальную академию имени Узеира Гаджибейли. Посещал классы профессора Р.Атакишиева, а затем профессора Ф.Бадалбейли. После окончания Бакинской государственной музыкальной академии поступил в Высшую школу музыкантов в Мюнхене (Германия) и учился в классе профессора Э.Вирсаладзе. Окончил эту школу в 1998 году. В том же году он стал аспирантом и стажировался в Московской государственной консерватории имени П.И.Чайковского, где также учился в классах профессора Вирсаладзе. Окончил Московскую государственную консерваторию (СКМ) в ноябре 2000 года. 

В 1984 году он участвовал в Международном радиоконкурсе «Концертино-Прага» и вошел в десятку лучших молодых пианистов. Принимал участие в гастролях в Чехословакии в 1987 году. В августе 1990 года участвовал в Международном конкурсе пианистов в Германии. Гастролировал в Турции в сентябре и октябре того же года. В 1995 году гастролировал по Турции с Государственным камерным оркестром. ​В мае 1996 года он стал лауреатом Первой премии Республиканского конкурса пианистов и был назван «Лучшим пианистом года». В декабре того же года он был назван «Лучшим музыкантом года». Во время учебы в СКМ давал концерты в Москве, Турции и Баку. Также вместе со стипендиатами Фонда Владимира Спивакова принял участие в Фестивале музыкантов, проходившем в Киеве, Украина.

В декабре 2000 года он гастролировал по Турции с Государственным симфоническим оркестром города Бурса, интенсивно пропагандируя азербайджанскую музыку в Баку и за рубежом. Выступал под руководством таких известных дирижеров, как Н.Рзаев, Р.Абдуллаев, Ю.Адигезалов, Р.Меликасланов, В.Сиренко, В.Жордания, В.Альтшулер, В.Вербицкий, Ю.Башмет, В.Федосеев, В.Кахидзе, Д.Яблонский, М.Венгеров.

В октябре 2001 года стал победителем II Международного конкурса пианистов в Тбилиси, Грузия (II премия, I премия без присуждения). В декабре 2001 года принял участие в Международном фестивале в Тбилиси, Грузия. В январе 2002 года гастролировал с камерным оркестром Ингольштадта и дал сольный концерт в Кенингсбахе. В марте того же года выступил на Международном фестивале «Памяти Рихтера» в Москве, организованном компанией "YAMAHA", а также в Анталье (Турция) с Государственным симфоническим оркестром. В апреле выступила с сольным концертом в малом зале Московской государственной консерватории им. П.И.Чайковского и в музее им. К.Рериха. В мае 2002 года выступал с Государственным симфоническим оркестром Баку. В июне 2002 года принял участие в 12-м Международном конкурсе имени Чайковского.

С 2004 года – солист Московской государственной академической филармонии. В 2005 году Мураду Адыгезалзаде было присвоено звание Заслуженного артиста Азербайджанской Республики. В 2011 году Мураду Адыгезалзаде было присвоено звание Народного артиста Азербайджанской Республики. С 2007 года получает Президентскую премию. В настоящее время наряду с концертной деятельностью он является профессором фортепиано Бакинской Музыкальной Академии. В его репертуаре произведения Баха, Бетховена, Моцарта, Гайдна, Шумана, Шуберта, Брамса, Чайковского, Рахманинова и других. Также с 2006 года и по сей день является директором Азербайджанской государственной академической филармонии.